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一般地，自变量x强样过的行间和因变量y之间存在江如下关系:
一般式:y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数进争血河弱价不木。
顶点式:y=a评声(x-h)^2+k(a≠0，a、h、k为常数)。
神给苦证交点式(与x轴):y来自=a(x-x360百科1)(x-x2)(a≠富家架0，a、且x1、x2为常担集啊切正但事数)x1、x2为二次函数与x轴的两交点。
等高式:y=a(x-x1)(x-x2)+m(a≠尽罗衡入给城划比0，且过(x1、m)(x2、m)为常数)x1、x2为二次函数与x轴氢的两交点。
- 中文名 二次函数性质
- 顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0，a、h、k为常数)
- 变量 x是自变量，y是x的二次函数
- 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，x1、x2为常数)
定义
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系:
一般式:y喜积教令剂=ax^2+bx+c(a≠0，a 、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。
顶点式:y=a(x-h)^2+k(a≠0，a、h、k为常数)
交点式(与x轴):y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，x1、x2为常数)
重要知识:(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数来自的开口方向，a>0时，开口方向360百科向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI现冲越小开口就越大。)
二次函数表达式的右边通常为二次。
毫罗见析 x是自变量，y落是x的二次函数
一元二次方程求根公式
当b^2-4ac>0 时,方程有两个不相等的实数根
当b^2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根即x1=x2=-b/2a
表达式
①一般式
y=ax+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
②顶点式
[抛物线的顶点 P(h，k) ]:y=a(x-h)+k(a,h,k为常数,a≠0)
③交点式
[仅限于与x轴有交点 乎上板命防吃物A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]:y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2为常数,a≠0)
转化
3种形式的转化∶
①一般式和顶点式
对于二次函数y=ax+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b)/4a)，即
h=-b/2a绿针=(x1+x2)/2
来自k=(4ac-b)/4a
②一般式和交点式
x1,x2=[-b±√(b-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
有关性质
抛物线的性质
1.抛物线是360百科轴对称图形。对称轴为直线x 头必与易= -b/2a。
对企语屋连背汽映史厚称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-bˇ2)/4a )
当-b/2a=0，〔即b=0〕时，P在y轴上;当Δ= bˇ2-4ac=0时，P使位临解火在x轴上。
3.二鱼需口表远次项系数a决定抛物线的开口方向刻半员稳服活天裂尔计和大小。
当a>0时，抛物线开口向上;当a<0时，抛物线开口向下。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。
吸松普 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)
6.抛物线与x轴它力露均待棉交点个数
Δ= 钢急烧保失深军别名几延bˇ2-4ac>0时，抛物线与治剧松晚略x轴有2个交点。
Δ= bˇ2-4ac=0时，抛物线与x轴有1低济府找厂眼鸡川后宗道个交点。
Δ= bˇ2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√bˇ2-4ac 乘上虚数i，整个式子除以2a)
当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小半皇席终发叫制值f(-b/2a)=〔4ac-b〕/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-bˇ2/4a}相余受买居周胶反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=axˇ2+c(a≠0)
7.定义域:R
值域:(倍厂几旧采感厚乱判对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-bˇ2)/4a，正无穷);②[k，正无穷)
奇偶性:非奇非偶 (当且仅当b=0时，函数解析式为f(x)=a杀布连家永找团束尼目x+c, 此时为偶函数)
周期性:无
解析式:
①y=axˇ2+bx+c[一般式]
⑴a≠0，a、b、c为常数。
⑵a>0，则抛物线开口朝上;a<0，则抛物线开口朝下;
⑶极值点:(-b/2a，(4写脸亲规点ac-bˇ2)/4a);
⑷Δ=bˇ2-4ac,
Δ>0，图象与x轴交于两点:
([-b+√Δ]/2a，0)和([-b-√Δ]/2a，0);
Δ=0，图象与x轴交诗着否于一点:
(-b/2a，0);
Δ<0，图象与x轴无交点晶些;
②y=a(x-h)ˇ2+k[配方式]
此时，对应极值点为(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-bˇ2)/4a;
二次函数的性质
特别地，二次函数(以下称函数)y=axˇ2+bx+c(a≠0)，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，
即axˇ2+bx+c=0(a≠0)
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=axˇ2，y=axˇ2+k,y=a(x-h)ˇ2，y=a(x-h)ˇ2+k，y=axˇ2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表:
解析式 | y=axˇ2+k | y=axˇ2 | y=a(x-h)ˇ2 | y=a(x-h)ˇ2+k | y=ax+bx+c |
顶点坐标 | (0,k) | (0，0) | ( h，0) | (h，k) | (-b/2a，4ac-b/4a) |
对 称轴 | x=0(y轴) | x=0(y轴) | x=h | x=h | x=-b/2a |
当h>0时，y=a(x-h)ˇ2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到.
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)ˇ2+k的图象;
当h>0,k<0时，将抛物线y=axˇ2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)ˇ2+k的图象;
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)ˇ2+k的图象;
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)ˇ2+k的图象;
因此，研究抛物线 y=axˇ2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)ˇ2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
2.抛物线y=axˇ2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-bˇ2]/4a).
3.抛物线y=axˇ2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大.若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小.
4.抛物线y=axˇ2+bx+c(a≠0)的图象与坐标轴的交点:
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);
(2)当△=b-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程axˇ2+bx+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x2-x1| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由2x|A+b/2a|(A为其中一点的横坐标)
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.
5.抛物线y=axˇ2+bx+c的最值(也就是极值):如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-bˇ2)/4a.
顶点的横坐标，是取得极值时的自变量值，顶点的纵坐标，是极值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式:
y=axˇ2+bx+c(a≠0).
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式:y=a(x-h)ˇ2+k(a≠0).
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中高考的热点考题，往往以大题形式出现.
其它
关于二次函数的答题
函数y=2x+1的图象与抛物线y=2x+2x+1的图像交于一点，求此点坐标.
解:由题知2x+1=2x+2x+1
所以:2x=0
x1=x2=0
y=2x0+1
所以:该点坐标为(0,1)